MECCANICA CLASSICA
Meccanica del continuo

Il bilancio dell'energia meccanica è una riformulazione del bilancio della quantità di moto in presenza di campi esterni conservativi:

La variazione di energia meccanica di un sistema avviene per variazione apparente di energia potenziale, per aumento di entropia potenziale, e per trasmissione e dissipazione cinetica

Il principio deriva dall'ipotesi di omogeneità dello spazio.

Se è nulla la risultante delle forze esterne (vincolo di isolamento meccanico) si hanno unicamente forze interne; siccome per queste ultime vale il terzo principio della dinamica, risulta la legge di conservazione dell'energia meccanica:

"L'energia meccanica di un sistema meccanicamente isolato è una costante del moto"

Questa ipotesi e la legge conseguente sono valide per molti fenomeni di urto o esplosione.

Forma locale[modifica | modifica sorgente]

Se moltiplichiamo scalarmente il bilancio locale della quantità di moto per la velocità media, otteniamo in base alla regola di Leibniz:

Il prodotto scalare fra la divergenza della tensione e la velocità può essere invece espresso come differenza fra la divergenza di entrambe e la dissipazione:

Si separa poi nel prodotto di saturazione il tensore degli sforzi in pressione e sforzo di taglio[1], si arriva alla[2]:

Se il campo medio è conservativo, è associabile al gradiente di un potenziale scalare, la densità di energia potenziale:

Il prodotto scalare fra accelerazione esterna e velocità può essere allora espresso come differenza fra le derivate temporali lagrangiana e parziale della densità potenziale;

Ovvero raccogliendo la densità (di energia) meccanica:

Forma lagrangiana[modifica | modifica sorgente]

Si può passare alla forma lagrangiana, meno restrittiva in quanto ammette discontinuità semplici nelle funzioni locali, integrando nella massa di controllo e riesprimendo il tensore degli sforzi come definizione nelle forze di superficie:

Per il teorema di Reynolds abbiamo che:

quindi:

ovvero in forma contratta:

Forma euleriana[modifica | modifica sorgente]

Dall'equazione locale, riesprimendo la densità potenziale in densità meccanica e cinetica:

Riesprimendo la differenza fra derivate totale e parziale:

Ovvero la densità meccanica è il potenziale di una somma di tre vettori, uno di accelerazione, uno di dissipazione e uno di tensione superficiale:

riesprimendo il primo fattore secondo la regola di Leibniz:

in forma euleriana il bilancio diventa:

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Todreas et al., op. cit., pp. 110, eq. 4-104

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Fonti[modifica | modifica sorgente]



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